Pregunta abierta: Con mi metodo, es podible resolverlo?

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hola, tengo una consulta.........tengo q hacer el siguiente ejericicio: teniendo la siguiente ecuacion x^2+ 2x.y+3.y^2=3, encontrar todos los puntos donde la tangente es perpendicular a la curva x+y=1. Lo primero que hice fue derivar implicitamente, de forma q y`=(-2x-2y)/2x+6y) Luego iguale eso a 1, que va a ser la pendiente de la tangente. 1=(-2x-2y)/2x+6y) quiero saber si haciendo esto puedo llegar a sacarlo( se hay otro procedimiento , pero quiero hacerlo por este):de aca x+y=1 despejo por ejemplo y, y la reemplazo en 1=(-2x-2y)/2x+6y), entonces ahi me dariaen punto en x, pero solo uno!! Cuando con ese punto voy a la ecuacion inicial 2x.y+3.y^2=3, ahi me dan dos puntos en y....pero uno de ellos no es tangente!! donde esta mi error en este procedimiento?? y que otra forma habria de hacerlo siguiendo mi ultimo razonamiento? desde ya, les agradezco su tiempo..